说明：译稿为原书2.1节。该书将由其他译者进行翻译。
近代以来，纯数学主要关注于数学对象的命题。
数学对象包括以下事物：整数、实数、集合、函数，等等。数学命题的例子有：
存在无穷多个素数。
对每个实数$a$，方程$x^2+a=0$都有一个实根。
$\sqrt{2}$是无理数。
如果$p(n)$表示小于或等于自然数$n$的素数的个数，那么随着$n$越来越大，
$p(n)$将接近于$n/\log_en$。
数学家不仅对以上这种数学命题感兴趣，而且对知晓命题的真假尤为感兴趣。举
例来说，在前文的命题例子中，(1)、(3)、(4)是真命题，但(2)是假命题。论证
每个命题是真命题还是假命题，不能像自然科学中那样进行观察、测量与试验，
而要进证明。关于证明，会在适当的时候进行进一步讨论。
可以通过人们所熟知的欧几里得的精妙论证来证明(1)为真命题。^1其思想是要证明，如果按升序列出素数
$$p_1,p_2,\dots,p_n,\dots$$
那么就一定可以永远列下去。（素数序列的前几个数是：$p_1=2$，$p_2=3$，
$p_3=5$，$p_4=7$，$p_5=11$，……）
考虑一下，已经将素数列到了第$n$个： $$p_1,p_2,p_3,\dots,p_n$$
目标是去证明，可以向这一素数列中再添加一个素数。如果可以在不设定特定$n$值的情况下完成证明，就会立即表明素数列是无限的。
将已列出的所有素数乘在一起，然后加$1$，并令该数为$N$，即
$$N=(p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot \dots \cdot p_n)+1$$
显然，$N$大于上一素数列中的所有素数，所以如果$N$为素数，那么就得知了
存在比$p_n$更大的素数，因此可以继续列出素数。（这里并没有说$N$是后一个
素数。实际上，$N$将比$p_n$大得多，所以$N$不可能是后一个素数。）
现在来考虑一下，如果$N$不是素数会发生什么。那么就一定会存在一个素数
$q<N$，使得$q$可以整除$N$。然而$p_1,p_2,\dots,p_n$都不能整除$N$，这是
因为用这些数除以$N$都会余$1$。所以，$q$一定会大于$p_n$。因此就会再次发
现，存在比$p_n$更大的素数，所以可以继续列下去。
由于以上论证在任何情况下都与$n$无关，所以就可以得出：存在无穷多个素数。
可以简单证明出(2)是假命题。由于实数的平方不会是负数，所以方程
$x^2+1=0$不会有实根。因为至少存在一个$a$使得方程$x^2+1=0$没有实根，
所以可以得出结论：命题(2)是假命题。
后文将会给出命题(3)的证明。而已知的命题(4)的证明是极为复杂的，远远复杂
于这本入门教材所能囊括的内容。
显然，在证明一个确定的命题是真是假之前，必须能够精确地理解命题的内容。
重要的是，数学是一门非常精确的学科，需要精确的进行表达。对于易于出现歧
义的单词而言，这就已经产生了困难，而现实生活中所使用的语言也很少是精确的。
要特别指出，我们在日常生活中使用语言时，通常要依靠上下文来确定单词所传递
的含义。美国人会诚实地说：“七月份是夏天”，但澳大利亚人说这句话时就是错
误的。单词“夏天”在两种陈述中有相同的含义（指一年中最热的三个月），但是
美国与澳大利亚一年中的季节是不同的。
再举一个例子。短语“小型啮齿动物”中的单词“小”，其含义（就大小而言）不同
于短语“小象”中“小”的含义。很多人都会认同，小型啮齿动物是一种小动物，但
小象肯定不是小动物。单词“小”所涉及的大小范围，可能会随着其所描述的实
体而变化。
在日常生活中，我们通过上下文，以及对万物与生活的常识认识，来弥补书写与
阅读时所缺少的信息，并同时消除可能产生歧义的错误理解。
举例来说，我们需要了解某些上下文，来正确地理解这句话：
- The man saw the woman with a telescope.
谁有望远镜？男人还是女人？
报纸头条存在的歧义——一般而言是“急就章”——有时可能会产生出人意料又饶有趣
味的第二种解读。近些年出现过的我最喜欢的头条有：
Sisters reunited after ten years in checkout line at Safeway.
Prostitutes appeal to the Pope.
Large hole appears in High Street. City authorities are looking into
it.Mayor says bus passengers should be belted.
系统地将英语精确化（精确定义每个单词的含义）是一项不可能完成
的任务。这样做也是没有必要的，因为一般而言人们依靠上下文与背景知识就可以很好地
理解单词的含义。
但是在数学中，情况就不同了。精确性是至关重要的，不可能假定所有数学团体通
过相同的上下文与背景知识来消除歧义。此外，由于数学的结果经常会用于自
然科学与工程学中，因而歧义所带来的错误传递含义的代价是高昂的，甚至可能是致
命的。
初看起来，将数学语言足够精确化，似乎是一项艰巨的任务。但幸运的是，数
学命题特殊而高度受限的属性，使数学的精确化成为可能。每个关键的数学命题
（公理、猜想、假设与定理）都是以下四种语言形式的正面或反面的变体：
对象$a$拥有性质$P$
类型$T$的所有对象都拥有性质$P$
存在类型$T$的对象，其拥有性质$P$
如果命题A，那么命题B
或者使用连接词和、或、非，将这四种形式的 命题简单地进行组合。
举例来说，
$3$是素数。/$10$不是素数。
所有多项式方程都有复根。/并非在所有情况下多项式方程都有实根。
20与25之间存在一个素数。/不存在大于2的偶数素数。
如果$p$是形如$4n+1$的素数，那么$p$是两个平方数之和。
最后一个命题是关于形如$4n+1$的素数的，这一定理由高斯贡献。